Question

（2013•鎮江模擬）已知拋物線y=ax²+bx經過點A（-3，-3）和點P（t，0），且t≠0．
（1）如圖，若A點恰好是拋物線的頂點，請寫出它的對稱軸和t的值．
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此時拋物線的開口方向．
（3）若拋物線y=ax²+bx的開口向下，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象可直接得到對稱軸方程，利用拋物線的對稱性可得到P點坐標，即得到t的值；
（2）利用待定系數法確定a、b的值，然后根據二次函數的性質確定拋物線開口方向；
（3）由于拋物線y=ax²+bx的開口向下，且過點A（-3，-3），則點P一定在點（-3，0）右側，于是可得到t的范圍．

解答：解：（1）根據函數圖象得拋物線的對稱軸為直線x=-3，
則拋物線與x軸的交點坐標為（-6，0），（0，0），
所以t=-6；

（2）把A（-3，-3）和P（-4，0）代入y=ax²+bx得

9a-3b=-3 16a-4b=0

，
解得

a=1 b=4

，
所以拋物線的解析式為y=x²+4x，
因為a=1＞0，
所以拋物線開口向上；

（3）t＞-3且t≠0．
將A（-3，-3）和點P（t，0）代入y=ax²+bx得，

9a-3b=-3① at2+bt=0②

，由①得b=3a+1
把b=3a+1代入②得at²+t（3a+1）=0，
∵t≠0，
∴at+3a+1=0，
∴a=

-1

t+3

，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴

-1

t+3

＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞-3
∴t＞-3且t≠0

點評：本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．