Question

（1）如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=AC,⊙O的弦AE交
于BC于D.　求證：AB.AC=AD.AE

(2)在（1）的條件下當弦AE的延長線與BC的延長線相交于點D時，上述結論是
否還成立？若成立，請給予證明。若不成立，請說明理由。

Answer 1

（1）證明見解析(2)上述結論仍成立，證明見解析

（1）證明：連接CE，
∵AB=AC，
∴，
∴∠AEC=∠ACD；
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，
∴，即AC²=AD•AE；
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．

（2）答：上述結論仍成立．
證明：連接BE，
∵AB=AC，
∴，
∴∠AEB=∠ABD；
又∵∠EAB=∠DAB
∴△AEB∽△ABD，
∴，即AB²=AD•AE．
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．
（1）要證明AB•AC=AD•AE成立，只要能證得，要用AB=AC，結合圓，等弧對等角，觀察本題無平行關系，首先考慮三角形的相似．連接CE，可證明△AEC∽△ACD，問題解決．
（2）假設結論仍成立，考慮作輔助線，看是否有三角形相似，能說明與AB•AC=AD•AE有關的成比例的線段關系．連接BE，可證得△AEB∽△ABD，進而可使問題解決．