Question

已知：二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（-3，0），與y軸交于點C，點D（-2，-3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；
（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點E，使B、D、E、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的E點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、D的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值．
（2）根據拋物線的解析式即可得到其對稱軸及B點的坐標，由于A、B關于拋物線對稱軸對稱，連接BD，BD與拋物線對稱軸的交點即為所求的P點，那么PA+PD的最小值即為BD的長，根據B、D的坐標，即可用勾股定理（或坐標系兩點間的距離公式）求出BD的長，也就求得了PA+PD的最小值．
（3）此題可分作兩種情況考慮：
①BE∥DG；根據拋物線的解析式可求得C點坐標，可得C、D關于拋物線對稱軸對稱，即C、D的縱坐標相同，所以CD∥x軸，那么C點就是符合條件的G點，易求得CD的長，根據平行四邊形的性質知BE=CD，由此可得到BE的長，將B點坐標向左或向右平移CD個單位即可得到兩個符合條件的E點坐標；
②BD∥EG；根據平行四邊形的性質知，此時G、D的縱坐標互為相反數，由此可求得G點的縱坐標，將其代入拋物線的解析式中即可求得G點的坐標；那么將G點的橫坐標減去3（B、D橫坐標差的絕對值），即可得到兩個符合條件的E點坐標；
綜上所述，符合條件的E點坐標應該有4個．

解答：解：（1）將A（-3，0），D（-2，-3）代入y=x²+bx+c，得：

9-3b+c=0 4-2b+c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

；
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3．

（2）由：y=x²+2x-3得：
對稱軸為：x=-

2

2×1

=-1，
令y=0，則：x²+2x-3=0，
∴x₁=-3，x₂=1，
∴點B坐標為（1，0），
而點A與點B關于x=-1對稱，
∴連接BD與對稱軸的交點即為所求的P點．
過點D作DF⊥x軸于點F，則：DF=3，BF=1-（-2）=3，
在Rt△BDF中，BD=

32+32

=3

2

，
∵PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD=BD=3

2

，
即PA+PD的最小值為3

2

．

（3）存在符合條件的點E，
①在y=x²+2x-3中，令x=0，則有：y=-3，故點C坐標為（0，-3），
∴CD∥x軸，
∴在x軸上截取BE₁=BE₂=CD=2，得BCDE₁和BDCE₂，
此時：點C與點G重合，E₁（-1，0），E₂（3，0）．
②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，
∴∠FBD=45°，
當G₃E₃∥BD且相等時，有G₃E₃DB，作G₃N⊥x軸于點N，
∵∠G₃E₃B=∠FBD=45°，∠G₃NE₃=90°，G₃E₃=BD=3

2

，
∴G₃N=E₃N=3；
將y=3代入y=x²+2x-3
得：x=-1±

7

，
∴E₃的坐標為：(-1+

7

-3，0)，
即(-4+

7

，0)，
同理可得：E4(-4-

7

，0)，
綜上所述：存在這樣的點E，所有滿足條件的E點坐標為：
E₁（-1，0），E₂（3，0），
E₃(-4+

7

，0)，E4(-4-

7

，0)．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、軸對稱的性質以及平行四邊形的判定和性質；要特別注意的是（3）題中，由于沒有明確BD是平行四邊形的邊還是對角線，所以一定要分類討論，以免漏解．