Question

如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數y=x²+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使△AOB的面積等于6，求點B的坐標；
（3）對于（2）中的點B，在此拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由

Answer 1

(1)y=x²﹣3x；（2）（4，4）；（3）存在，點P 的坐標為（2，﹣2），△POB的面積是8.

試題分析：（1）將原點坐標代入拋物線中即可求出k的值，從而求得拋物線的解析式.
（2）根據（1）得出的拋物線的解析式可得出A點的坐標，也就求出了OA的長，根據△OAB的面積可求出B點縱坐標的絕對值，然后將符合題意的B點縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標，然后根據B點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點是否符合要求即可.
（3）根據B點坐標可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點的坐標特點，代入二次函數解析式可得出P點的坐標．求△POB的面積時，求出OB，OP的長度即可求出△BOP的面積.
試題解析：
（1）∵函數的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1.
∴這個二次函數的解析式為y=x²﹣3x.
（2）如圖，過點B做BD⊥x軸于點D，

令x²﹣3x=0，解得：x=0或3.∴AO=3.
∵△AOB的面積等于6，∴AO•BD=6.∴BD=4.
∵點B在函數y=x²﹣3x的圖象上，
∴4=x²﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）.
又∵頂點坐標為：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，
∴x軸下方不存在B點.
∴點B的坐標為：（4，4）.
（3）存在.
∵點B的坐標為：（4，4），∴∠BOD=45°，.
若∠POB=90°，則∠POD=45°.
設P點坐標為（x，x²﹣3x）.
∴.
若，解得x="4" 或x=0（舍去）.此時不存在點P（與點B重合）.
若，解得x="2" 或x=0（舍去）.
當x=2時，x²﹣3x=﹣2.
∴點P的坐標為（2，﹣2）.
∴.
∵∠POB=90°，∴△POB的面積為： PO•BO=××=8.