Question

（2013•紹興模擬）小剛在紙上畫了一個面積為6分米²的正六邊形，然后連接相隔一點的兩點得到如圖所示的對稱圖案，他發現中間也出現了一個正六邊形，則中間的正六邊形的面積是

2

分米²．

Answer 1

分析：首先設O是原正六邊形的中心，連接AO，FO，MO，設FO與AE交于點Q，AO與BE交于P，易得△OAF是等邊三角形，繼而可得點M是△AOF的外心，然后由一個面積為6分米²的正六邊形，求得△OPM的面積，繼而求得答案．

解答：解：設O是原正六邊形的中心，連接AO，FO，MO，設FO與AE交于點Q，AO與BE交于P，
∵一個面積為6分米²的正六邊形，連接相隔一點的兩頂點得到如圖所示的對稱圖案，
∴∠AOF=

1

6

×360°=60°，S_△AOF=

1

6

×6=1（分米²），
∴△OAF是等邊三角形，
∵AB=AF，
∴OA⊥BF，
∴AP=OP，
∴AM=OM，
同理：OF⊥AE，OQ=FQ，
∴OM=FM，
∴點M是△AOF的外心，
∴S_△OAM=

1

3

S_△AOF=

1

3

（分米²），
∴S_△OPM=

1

2

S_△OAM=

1

6

（分米²），
∴中間的正六邊形的面積是：12×S_△OPM=2（分米²）．
故答案為：2．

點評：此題考查了圓與正多邊形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵，注意數形結合思想的應用．