Question

如圖，在□ABDC中，分別取AC、BD的中點E和F，連接BE、CF，過點A作AP∥BC，交DC的延長線于點P．

（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）當∠P滿足什么條件時，四邊形BECF是菱形？證明你的結論．

Answer 1

見解析

試題分析：(1)因為ABCD是平行四邊形，所以對角相等，對邊相等。而E、F又是對邊中點，利用“SAS”             即可證明△ABE≌△DCF
（2）∠P=90°時，四邊形BECF是菱形。
要使四邊形BECF是菱形，只要鄰邊相等即可，也就是說只要滿足BE=EC即可，假設BE=EC，由于AE=EC，所以有AE=BE，BE=CE，所以∠ABE=∠BAE，∠EBC=∠ECB，而∠ABE+∠BAE+∠EBC+∠ ECB=180°（△ABC內角和）.所以2∠ABE+2∠EBC=180°，所以∠ABE+∠EBC=90°，即∠ABC=90°，由于AB//CP，AP//BC，所以四邊形BAPC是平行四邊形，所以∠P=∠ABC=90º.
試題解析：
（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠D,AB=CD,BD=AC
∵E、F分別為AC,BD中點
∴AE=FD
在△ABE和△DCF中，
AB=CD，∠A=∠D，AE=FD
∴△ABE≌△DCF
（2）解：問題可知使四邊形BECF是菱形，
∴BE=EC
又∵AE=EC
∴∠EBC=∠ECB
BE=AE
∴∠A=∠ABE
∵∠A+∠ABE+∠EBC+∠ECB=180º
∴2∠ABE+2∠EBC=180º
∴∠ABE+∠EBC=90º
∴∠ABC=90º
又∵AB//CP，AP//BC
∴四邊形BAPC是平行四邊形
∴∠P=∠ABC=90º
即∠P=90º時，四邊形BECF是菱形