Question

【題目】如圖，已知拋物線(a為常數，且a＞0)與x軸從左至右

依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一交

點為D，且點D的橫坐標為﹣5．

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)P為直線BD下方的拋物線上的一點，連接PD、PB, 求△PBD面積的最大值．

(3)設F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】（1）　　　（2）　　（3）當F坐標為(－2，)時，用時最少．

【解析】（1）首先求出A、B坐標，然后求出直線BD的解析式，求得點D坐標，代入拋物線解析式，求得a的值；

（2）用三角形的面積公式建立函數關系式，再確定出最大值；

（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DFA，運動時間t=AF +DF. 如圖，輔助線，將AF=DF轉化為AF+FG；再由垂線段最短，得到線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點.

解：(1)拋物線令y＝0，解得x＝－2或x＝4，

∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直線經過點B(4，0)，∴，解得，

∴直線BD解析式為：．

當x＝－5時，y＝3，∴D(－5，3)．

∵點D(－5，)在拋物線上，

∴，∴．

∴拋物線的函數表達式為：．

(2)設P(m, )

∴

∴△BPD面積的最大值為．

(3)作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點F，

∵由(2)得，DN＝,BN＝9，容易得∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，

∴FG＝DF×sin30°＝，

∴當且僅當AH⊥DK時，AF+FH最小，

點M在整個運動中用時為：t＝，

∵lBD：，∴Fx＝Ax＝－2，F(－2，)

∴當F坐標為(－2，)時，用時最少．

“點睛”此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，三角形的面積公式，函數極值的求得方法，解（1）關鍵是用待定系數法求出點D的坐標，解（2）的關鍵是用三角形的面積公式建立函數關系式，解（3）的關鍵是作出輔助線，是一道難度比較大的中考常考題.