Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx﹣3經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，拋物線的對稱軸上有一點P，且點P在x軸下方，線段PB繞點P順時針旋轉90°，點B的對應點B′恰好落在拋物線上，求點P的坐標．

（3）如圖②，直線y=x+交拋物線于A、E兩點，點D為線段AE上一點，連接BD，有一動點Q從B點出發，沿線段BD以每秒1個單位的速度運動到D，再沿DE以每秒2個單位的速度運動到E，問：是否存在點D，使點Q從點B到E的運動時間最少？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=﹣2；（2）P（1，﹣1）（3）D（3，）．

【解析】（1）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可得到關于a、b的方程組，從而可求得a、b的值；

（2）先求得拋物線的對稱軸為x=1．過點B′作B′M⊥對稱軸，垂足為M．然后證明△BNP≌△PMB，依據全等三角形的性質可知BN=PM=3，PN=MB′．設P（1，m），則點B′的坐標為（1﹣m，m﹣2），最后將點B′的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

（3）過點E作EF∥x軸，作點DF∥y軸，則∠EFD=90°．先求得點G的坐標，則可得到OG=，在Rt△AGO中，利用特殊銳角三角函數值可求得∠A的度數，則∠FED=30°，依據函數30°直角三角形的性質可得到DF=DE．則動點Q沿DE以每秒2個單位的速度運動到E與它一每秒1個單位的速度運動東F所用時間相等．故此當BD+DF最短時，所用時間最短，依據兩點之間線段最短可知當B，D，F在一條直線上時，所用時間最短，此時BE⊥BF，則點D的橫坐標為3，然后由函數解析式再求得點D的縱坐標即可．

解：（1）將點A和點B的坐標代入得：，

解得：a=1，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴拋物線的對稱軸為x=1．

如圖所示：過點B′作B′M⊥對稱軸，垂足為M．

∵∠BPB′=90°，

∴∠BPN+∠B′PM=90°．

∵∠BPN+∠PBN=90°，

∴∠PNB=∠B′PM．

在△BPN和△PB′M中

∠PBN＝∠B′PM，∠BNP＝∠PM B′，PB=PB′，

∴△BNP≌△PMB．

∴BN=PM=3，PN=MB′．

設P（1，m），則點B′的坐標為（1﹣m，m﹣2）．

將點B′的坐標代入拋物線的解析式得：

（1﹣m）2﹣2（1﹣m）﹣3=m﹣2，解得：m1=﹣1，m2=2．

∵點P在x軸的下方，

∴m=﹣1．

∴P（1，﹣1）．

（3）存在．

如圖所示：過點E作EF∥x軸，作點DF∥y軸，則∠EFD=90°．

將x=0代入直線AE的解析式得y=，

∴OG=．

∴tan∠GAO=．

∴∠FEA=∠GAO=30°．

∴DF=DE．

∴動點Q沿DE以每秒2個單位的速度運動到E與它一每秒1個單位的速度運動東F所用時間相等．

∴當BD+DF最短時，所用時間最短．

∴當B，D，F在一條直線上時，所用時間最短．

∴點D的橫坐標為3．

將x=3代入直線AE的解析式得：y=．

∴D（3，）．

“點睛”本題考查了二次函數圖象的基本性質，最值問題及全等三角形性質，三角函數等知識點，對存在性問題進請說明理由難度適中，適合學生鞏固知識．