Question

如圖，B，C，E是同一直線上的三個點，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形．連接BG，DE．
（1）觀察猜想BG與DE之間的關系，并證明你的猜想；
（2）圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請指出，并說出旋轉過程；若不存在，請說明理由．
（3）延長BG交DE于H．當AB=6cm．CE=2cm時．求BH的長．

Answer 1

分析：（1）猜想BG⊥DE，且BG=DE．運用勾股定理證明BG=DE．延長BG與DE交于H點，根據∠DGH+∠GDF=90°可以證明∠DHG=90°，即BG⊥DE；
（2）存在，△BCG和△DCE可以通過旋轉重合．利用△BCG≌△DCE即可得出．
（3）首先得出△BGC∽△DGH，進而得出

CG

GH

=

BG

DG

，求出GH的長，再利用勾股定理求出BG的長，即可得出答案．

解答：解：（1）BG⊥DE，且BG=DE．理由如下：
延長BG與DE交于H點．
在直角△BCG中，BG=

BC2+CG2

，
在直角△DCE中，DE=

DC2+CE2

，
∵BC=DC，CG=CE，
∴BG=DE．
在△BCG和△DCE中，

BC=DC CG=CE GB=ED

，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠BGC=∠DEC，BG=DE，
又∵∠BGC=∠DGH，∠DEC+∠CDE=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠DHG=90°，
故BG⊥DE，且BG=DE；

（2）存在，△BCG≌△DCE，（1）中已證明，
且△BCG和△DCE有共同頂點C，則△DCE沿C點逆時針旋轉90°與△BCG重合；

（3）由（1）得出：
∵BG⊥DE，∴∠DHG=90°，
∵∠BCG=90°，
∴∠DHG=∠BCG，
∵∠DGH=∠BGC，
∴△BGC∽△DGH，
∴

CG

GH

=

BG

DG

，
∵AB=6cm．CE=2cm，
∴BC=6cm，CG=2cm，DG=4cm，BG=

BC2+CG2

=

62+22

=2

10

cm，
∴

2

GH

=

2 10

4

，
解得：GH=

2 10

5

cm，
∴BH=2

10

+

2 10

5

=

12 10

5

cm．

點評：本題考查了旋轉性質、全等三角形性質和判定、以及相似三角形的性質與判定和勾股定理等知識點的運用，關鍵是證出△BCG≌△DCE，主要訓練學生的推理能力和觀察圖形的能力．