Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點E，G分別是AD，BC邊的中點，連接BE，CE，點F，H分別是BE，CE的中點連接FG，HG．

（1）求證：四邊形EFGH是菱形；

（2）當＝　 　時，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先連接EG，根據四邊形ABGE、四邊形GCDE都是矩形，得出EF＝FG，EH＝GH，再根據四邊形EFGH是平行四邊形，得出FG＝EH，最后得到EF＝FG＝GH＝EH，即可得出結論；

（2）根據有一個角是直角的菱形是正方形進行判斷即可．

解：（1）連接EG，

∵矩形ABCD中，AD＝BC，E，G分別是AD，BC的中點，

∴AE＝BG，

又∵AE∥BG，∠A＝90°，

∴四邊形ABGE是矩形，

∴∠BGE＝90°，

∵F是BE的中點，

∴Rt△BEG中，EF＝BE＝GF，①

同理可得，EH＝CE＝GH，②

∵EG⊥BC，BG＝GC，

∴BE＝EC，

∴EF＝EH，

∴EF＝FG＝GH＝HE，

∴四邊形EFGH是菱形；

（2）當AB邊和AD邊之間滿足條件：AD＝2AB時，四邊形EFGH是正方形．

理由：當AB邊和AD邊之間滿足AD＝2AB時，四邊形ABGE與四邊形EGCD都是正方形，

故∠FGE＝∠EGH＝45°，

∴∠FGH＝90°，

∴菱形EFGH是正方形．

故答案為：．