Question

【題目】如圖，⊙O為等腰△ABC的外接圓，直徑AB=12，P為弧 上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），直線CP交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，⊙O在點(diǎn)P處切線PD交BQ于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是 ． （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)） ①若∠PAB=30°，則弧 的長(zhǎng)為π；②若PD∥BC，則AP平分∠CAB；
③若PB=BD，則PD=6 ；④無論點(diǎn)P在弧 上的位置如何變化，CPCQ為定值．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：如圖，連接OP，
∵AO=OP，∠PAB=30°，
∴∠POB=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴弧 的長(zhǎng)為 =2π，故①錯(cuò)誤；
∵PD是⊙O的切線，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴ = ，
∴∠PAC=∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正確；
若PB=BD，則∠BPD=∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等邊三角形，
∴PD= OP=6 ，故③正確；
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
又∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=BAC，
又∵∠ACP=∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴ = ，即CPCQ=CA2（定值），故④正確；
所以答案是：②③④．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角），以及對(duì)切線的性質(zhì)定理的理解，了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．