Question

如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為____________．

Answer 1

試題分析：連結BE，設⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據垂徑定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根據勾股定理得到（R-2）²+4²=R²，解得R=5，則OC=3，由于OC為△ABE的中位線，則BE=2OC=6，再根據圓周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計算出CE．
試題解析：連結BE，設⊙O的半徑為R，如圖，

∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，
∵OC²+AC²=OA²，
∴（R-2）²+4²=R²，解得R=5，
∴OC=5-2=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE為直徑，
∴∠ABE=90°，
在Rt△BCE中，．
考點: 1.垂徑定理；2.勾股定理；3.三角形中位線定理；4.圓周角定理．