Question

如圖1，在直角坐標系中，已知△AOC的兩個頂點坐標分別為A（2，0），C（0，2）．

（1）請你以AC的中點為對稱中心，畫出△AOC的中心對稱圖形△ABC，此圖與原圖組成的四邊形OABC的形狀是______，請說明理由；
（2）如圖2，已知D（，0），過A，C，D的拋物線與（1）所得的四邊形OABC的邊BC交于點E，求拋物線的解析式及點E的坐標；
（3）在問題（2）的圖形中，一動點P由拋物線上的點A開始，沿四邊形OABC的邊從A-B-C向終點C運動，連接OP交AC于N，若P運動所經過的路程為x，試問：當x為何值時，△AON為等腰三角形（只寫出判斷的條件與對應的結果）？

Answer 1

解：（1）設AC的中點為E，連接OE并延長至B，使得BE=OE；連接AC，AB，則△ABC為所求作的△AOC的中心對稱圖形．
∵A（2，0），C（0，2），∴OA=OC，
∵△ABC是△AOC的中心對稱圖形，∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=AB=BC=OC，
∵∠COA=90°，
∴四邊形OABC是正方形；

（2）設經過點A、C、D的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），C（0，2），D（，0），
∴，解得a=-2，b=3，c=2，
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+3x+2；
由（1）知，四邊形OABC為正方形，∴B（2，2），
∴直線BC的解析式為y=2，
令y=-2x²+3x+2=2，解得x₁=0，x₂=，
∴點E的坐標為（，2）．

（3）在點P的運動過程中，有三種情形使得△AON為等腰三角形，
如圖②所示：
①△AON₁．此時點P與點B重合，點N₁是正方形OABC對角線的交點，且△AON₁為等腰直角三角形，
則此時點P運動路程為：x=AB=2；
②△AON₂．此時點P位于B-C段上．
∵正方形OABC，OA=2，∴AC=2，
∵AN₂=OA=2，∴CN₂=AC-AN₂=2-2．
∵AN₂=OA，∴∠AON₂=∠AN₂O，
∵BC∥OA，∴∠AON₂=∠CP₂N₂，又∠AN₂O=∠CN₂P₂，
∴∠CN₂P₂=∠CP₂N₂，
∴CP₂=CN₂=2-2．
此時點P運動的路程為：x=AB+BC-CP₂=2+2-（2-2）=6-2；
③△AON₃．此時點P到達終點C，P、C、N三點重合，△AON₃為等腰直角三角形，
此時點P運動的路程為：x=AB+BC=2+2=4．
綜上所述，當x=2，x=6-2或x=4時，△AON為等腰三角形．
分析：（1）按照中心對稱圖形的定義作圖即可，易知四邊形OABC為正方形；
（2）已知A、C、D三點的坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式；由直線BC：y=2，代入拋物線解析式解方程求得點E的坐標；
（3）在點P的運動過程中，△AON為等腰三角形的情形有三種，注意不要漏解．充分利用正方形、等腰三角形的性質，容易求得點P運動的路程x．
點評：本題綜合考查了待定系數法求二次函數解析式、旋轉變換作圖、正方形、等腰三角形、解一元二次方程等重要知識點．第（3）問是動點型問題，△AON為等腰三角形的情形有三種，注意不要漏解．作為中考壓軸題，本題難度不大，有利于基礎扎實的考生獲得好成績．