Question

（2005•湘潭）如圖，梯形ABCD，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的延長線相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F．
（1）請寫出圖中4組相等的線段（已知的相等線段除外）；
（2）從你寫出的4組相等的線段中選一組加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據四邊形ABCD為等腰梯形可知∠DAB=∠CBA，所以GA=GB．由此也得到GD=GC，CE=CF，利用全等三角形：△CAE≌△CAF，得AE=AF；△CDE≌△CBF（AAS），得DE=BF；
（2）通過四邊形ABCD為等腰梯形的性質得到∠DAB=∠CBA，所以利用等角對等邊可知GA=GB．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB．
∵AD=BC，
∴GD=GC，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CE⊥AG，CF⊥AB，
∴CE=CF，
∴△CAE≌△CAF，
∴AE=AF；
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB．
∴CE=CF，AE=AF，DE=BF，DG=CG，AG=BG；（任選4組）

（2）①：∵AB∥DC，AD=BC，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB，
或：②：由①得，GA-DA=GB-CB，
∴GD=GC，
或：③：∵AB∥DC，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠CAB=∠DAC，
∵CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，
∴CE=CF．
或：④：由③可證△CAE≌△CAF，得AE=AF
或：⑤：可證明△CDE≌△CBF（AAS），得DE=BF．
點評：本題考查三角形全等的性質和判定方法以及等腰三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．求相等的線段，利用全等三角形和等角三角形是常用的方法．