Question

【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸交與點(diǎn)E，已知點(diǎn)B（﹣1，0）．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)：　　　　　　，點(diǎn)E的坐標(biāo)：　　　　　　；

（2）若二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)A、E，求此二次函數(shù)的解析式；

（3）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合）連結(jié)PB、PD，設(shè)L是△PBD的周長，當(dāng)L取最小值時(shí)。

求：①點(diǎn)P的坐標(biāo)

②判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說明你的判斷理由．

Answer 1

【答案】（1）E（0， ）；（2）y=﹣x2+x+；（3）①P（， ），②此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上．

【解析】試題分析：

（1）由已知條件求得線段OD、AD、OE的長可得點(diǎn)A、E的坐標(biāo)；

（2）把（1）中所求得的A、E坐標(biāo)代入中列方程組求得的值可得拋物線的解析式；

（3）由△PBD中，BD邊是定值可知當(dāng)PB+PD最小時(shí)，△PBD的周長最小，因此作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D’，連接BD’，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)，△PBD的周長最小.①作D’G⊥軸，連接DD’交AC于點(diǎn)F，利用軸對(duì)稱和等邊三角形的性質(zhì)求得DG、D’G的長可得D’的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線DD’和AC的解析式就可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②把所求得的點(diǎn)P的坐標(biāo)代入（2）中所得拋物線的解析式可判斷點(diǎn)P是否在該拋物線上.

試題解析：

（1）連接AD，如圖1，

∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，又B的坐標(biāo)為（﹣1，0），BC在x軸上，A在第一象限，

∴點(diǎn)C在x軸的正半軸上，

∴C的坐標(biāo)為（3，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：D的坐標(biāo)為（1，0）．

∵D為BC的中點(diǎn)，AB=AC=BC=4，

∴AD⊥BC，

∴AD=，

∴A的坐標(biāo)是（1， ）．

∵在△BOE中，∠BOE=90°，∠EBO=60°，

∴∠BEO=30°，

∴BE=2BO=2，

∴OE=，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0， ）；

（2）∵拋物線過點(diǎn)A、E，

∴ ，解得： ， ，

∴拋物線的解析式為；

（3）作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，

連接BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，

即△PBD的周長L取最小值，如圖2．

①∵D、D′關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴DD′⊥AC，∴∠DFC=90°，∵∠ACD=60°，∴∠D′DC=30°，

∴在Rt△DFC中，DF= =，∴DD'=，

作D’G⊥軸于點(diǎn)G，

在Rt△D’DG中，DG=D’Dcos30°=3，DG=D’Dsin30°=，

∴點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4， ），

∴由待定系數(shù)法可求得：直線BD'的解析式為： ，直線AC的解析式為： ，

由 解得： ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②∵在中，當(dāng)時(shí)， ，

∴點(diǎn)P在拋物線上.