Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以HF為直徑的圓與AB、BC、CD、DA相切，切點分別是E、F、G、H．其中H為AD的中點，F為BC的中點．連接HG、GF．
（1）若HG和GF的長是關于x的方程x²-6x+k=0的兩個實數根，求⊙O的直徑HF（用含k的代數式表示），并求出k的取值范圍．
（2）如圖，連接EG，DF．EG與HF交于點M，與DF交于點N，求

GN

NE

的值．

Answer 1

分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形HGF，再根據勾股定理以及根與系數的關系求得HF的長，根據一元二次方程根的判別式求得k的取值范圍；
（2）先利用平行線等分線段定理求得

GN

MN

=1，再根據垂徑定理可知EM=MG，從而利用合比性質求得

GN

NE

=

1

3

．

解答：解：（1）∵HG和GF的長是關于x的方程x²-6x+k=0的兩個實數根，
∴HG+GF=6，HG•GF=k，
又∵HF為圓O的直徑，∴△FHG為直角三角形，由勾股定理得：HG²+GF²=HF²，
即HF²=（HG+GF）²-2HG•GF=36-2k，
∴HF=

36-2k

，
∵方程x²-6x+k=0的兩個實數根，
∴△=36-4k＞0，
∴k＜9；

（2）∵H為AD的中點，F為BC的中點，
∴AH=HD，BF=FC
∵AH=AE，HD=DG
∴AE=DG，EB=GC
∴AD∥BC∥EG
∵

NM

HD

=

NF

FD

，

NG

FC

=

DN

DF

∴MN=

NF•HD

FD

，GN=

DN•FC

FD

∴

GN

MN

=

DN•FC

NF•HD

=

DN

NF

•

FC

HD

∵

FC

HD

=

CG

DG

=

NF

DN

∴

GN

MN

=1
∵EM=MG
∴

GN

NE

=

1

3

．

點評：主要考查了一元二次方程中根的判別式、等腰梯形的性質、平行線等分線段定理和圓中的有關性質．第（2）問的解題關鍵是利用平行線等分線段定理先求得CN與NM之間的等量關系，再根據垂徑定理找到GN和NE之間的關系．