Question

四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC．在建立如圖的平面直角坐標系中，A（4，0），B（3，2），點M從O點以每秒2個單位的速度向終點A運動；同時點N從B點出發以每秒1個單位的速度向終點C運動，過點N作NP垂直于x軸于P點連接AC交NP于Q，連接MQ．
（1）寫出C點的坐標；
（2）若動點N運動t秒，求Q點的坐標；（用含t的式子表示）
（3）其△AMQ的面積S與時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（4）當t取何值時，△AMQ的面積最大；
（5）當t為何值時，△AMQ為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于等腰梯形是軸對稱圖形，根據O、A坐標可求出等腰梯形對稱軸的解析式，進而可根據B點坐標和對稱軸的解析式求出C點坐標．
（2）求Q點坐標，即求QP和OP的長，Q點橫坐標即為B點橫坐標減去NB的長，據此可求出Q點橫坐標，Q點縱坐標可通過構建相似三角形來求解，過C作CE⊥OA于E，可根據QP∥CE得出的關于AP、AE、PQ、CE的比例關系式求出Q點縱坐．由此可得出Q點坐標．
（3）在②中已經求得了QP的長，AM的長易得出，據此可用三角形面積公式求出S，t的函數關系式．
（4）根據（3）得出的函數的性質和自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應的t的值．
（5）本題要分三種情況討論：
①QM=QA，根據等腰三角形三線合一的特點，可得出MP=PA=AM，可根據MP和AP的不同表達式求出t的值．
②AM=QA，可直接用表示AM的式子表示AQ，然后在直角三角形PAQ中，用勾股定理求出t的值；③QM=MA，同②．
解答：解：（1）C（1，2）．

（2）過C作CE⊥x軸于E，則CE=2
當動點N運動t秒時，NB=t
∴點Q的橫坐標為3-t
設Q點的縱坐標為y_Q
由PQ∥CE得
∴y_Q=
∴點Q（3-t，）；

（3）點M以每秒2個單位運動，
∴OM=2t，AM=4-2t，
S_△AMQ=AM•PQ=•（4-2t）•
=（2-t）（t+1）
=-（t²-t-2）
當t=2時，M運動到A點，△AMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范圍是0≤t＜2；

（4）由S_△AMQ=（t²-t-2）=-（t-）²+．
當t=時，S_mzx=；

（5）①若QM=QA
∵QP⊥OA，
∴MP=AP，
而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，
t=，
∴當t=時，△QMA為等腰三角形；
②若AQ=AM
AQ²=AP²+PQ²=（1+t）²+（）²=（1+t）²AQ=，
AM=4-2t（1+t）=4-2t，
t=而0＜＜2，
∴當t=時，△QMA為等腰三角形；
③若MQ=MA
MQ²=MP²+PQ²
=（3-3t）²+（）²=t²-t+
∴t²-t+
=（4-2t）²
t²-t-=0
解得t=或t=-1（舍去）
∵0＜＜2，
∴當t=時，△QMA為等腰三角形；
綜上所述：當t=，t=或t=△QMA都為等腰三角形．
點評：本題是點的運動性問題，考查了等腰梯形的性質、等腰三角形的判定等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論、數形結合的數學思想方法．