Question

【題目】如圖，點A（a，b）是拋物線上一動點，OB⊥OA交拋物線于點B（c，d）．當點A在拋物線上運動的過程中（點A不與坐標原點O重合），以下結論：①ac為定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面積為定值；④直線AB必過一定點．正確的有（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：過點A、B分別作x軸的垂線，通過構建相似三角形以及函數解析式來判斷①②是否正確．的面積不易直接求出，那么可由梯形的面積減去構建的兩個直角三角形的面積得出，根據得出的式子判斷這個面積是否為定值．利用待定系數法求出直線AB的解析式，即可判斷④是否正確．

詳解：過A.B分別作AC⊥x軸于C.BD⊥x軸于D，則：AC=b，OC=a，OD=c，BD=d；

(1)由于OA⊥OB,易知△OAC∽△BOD，有：

即

∴ac=bd(結論②正確).

(2)將點A.B的坐標代入拋物線的解析式中，有：

…Ⅰ、…Ⅱ；

Ⅰ×Ⅱ,得：即 (結論①正確).

(3),

,

由此可看出,△AOB的面積不為定值(結論③錯誤).

(4)設直線AB的解析式為：y=kx+h，代入A.B的坐標，得：

ak+h=b…Ⅲ、ck+h=d…Ⅳ

Ⅲ×cⅣ×a，得：

∴直線AB與y軸的交點為(0,2)(結論④正確).

綜上，共有三個結論是正確的，它們是①②④，

故選C.