Question

【題目】如圖，在平面內直角坐標系中，直線y=-x+6分別于x軸、y軸交于A、B兩點，點C與點A關于y軸對稱，點E為線段OB上一動點（不與O、B重合），CE的延長線與AB交于點D，過A、D、E三點的圓與y軸交于點F

（1）求A、B、C三點的坐標

（2）求證：BE·EF=DE·AE

（3）若tan∠BAE=，求點F的坐標

Answer 1

【答案】（1） A（6,0）；B（0,6）；C（-6,0）；（2）見解析；（3）（0，-2）.

【解析】分析：（1）利用直線y=-x+6可求得A、B的坐標，再利用對稱可求得C點坐標；

（2）連接AF，可證得△BED∽△AEF，利用相似三角形的性質可證得結論；

（3）利用（2）中三角形相似，結合條件可求得∠BAE=∠FAO，在Rt△AOF中，利用三角函數定義可求得OF的長，則可求得F點的坐標．

詳解：（1）在y=-x+6中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=6，

∴A（6，0），B（0，6），

∵點C與A關于y軸對稱，

∴C（-6，0）；

（2）連接AF，由（1）可知OC=OA，

在△COE和△AOE中

,

∴△COE≌△AOE（SAS），

∴∠CEO=∠AEO，

∵∠CEO=∠BED，

∴∠BED=∠AEO，

∵四邊形ADEF內接于圓，

∴∠BDE=∠EFA，

∴△BED∽△AEF，

∴，

∴BEEF=DEAE；

（3）∵△BED∽△AEF，

∴∠EAF=∠EBD，

∵OA=OB=6，∠AOB=90°，

∴∠ABO=∠OAB=45°，

∴∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠EAO=∠FAO+∠EAO=45°，

∴∠BAE=∠FAO，

∴tan∠FAO=tan∠BAE=，

∴，

∵OA=6，

∴OF=2，

∴F（0，-2）．