Question

【題目】已知， 四邊形， 連接，，．

（1）如圖， 求證：平分；

（2）如圖，點在的延長線上，連接交于點，求證：；

（3）如圖3，在的條件下，連接，點在延長線上，連接，延長與延長線交于點， 若，， 的面積與的面積比為， ，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據“SSS”可證△ABC≌△ADC，進而可得∠BAC=∠DAC，由此即可得證；

（2）過點F作FP⊥AB，FQ⊥AD，根據角平分線的性質可得FP=FQ，進而根據S△AEF:S△ADF=AE:AD=EF:DF即可得證；

（3）先根據，及可證得，再根據△EFC和△AFN的內角和可證得，進而可證得，再根據的面積與的面積比為結合可求得DN=AD=3，最后根據及求得FD的長，進而可求得FN的長．

（1）證明：在△ABC與△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS）

∴∠BAC=∠DAC，

∴平分；

（2）證明：如圖，過點F作FP⊥AB，FQ⊥AD，垂足分別為點P、Q，

∵平分，FP⊥AB，FQ⊥AD，

∴FP=FQ，

∴S△AEF:S△ADF=AE·FP：AD·FQ= AE：AD，

設點A到DE的距離為h，

則S△AEF:S△ADF=EF·h：FD·h=EF：FD，

∴AE：AD=EF：FD；

（3）解：∵，

∴，

∵

∴，

∵，

∴

∴，

∵，

∴，

∵，

且，

∴

∴

∴

∵的面積與的面積比為

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴

∵，

∴

，

∴

．