Question

已知，如圖，△OBC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，將△OBC繞原點O逆時針旋轉60°再將其各邊擴大為原來的m倍，使OB₁=OC，得到△OB₁C₁，將△OB₁C₁繞原點O逆時針旋轉60°再將其各邊擴大為原來的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂，…，如此繼續下去，得到△OB₂₀₁₂C₂₀₁₂，則m=________．點C₂₀₁₂的坐標是________．

Answer 1

2    （-2²⁰¹³，0）
分析：先解直角三角形求出∠BOC=60°，再根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出m的值，然后求出OC₁、OC₂、OC₃、…、OC_n的長度，再根據周角等于360°，每6個為一個循環組，求出點C₂₀₁₂是第幾個循環組的第幾個點，再根據變化規律寫出點的坐標即可．
解答：解：∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，
∴tan∠BOC==，
∴∠BOC=60°，
∴OC=2OB=2×1=2，
∵將△OBC繞原點O逆時針旋轉60°再將其各邊擴大為原來的m倍，使OB₁=OC，
∴m=2，
∴OC₁=2OC=2×2=4=2²，
OC₂=2OC₁=2×4=8=2³，
OC₃=2OC₂=2×8=16=2⁴，
…，
OC_n=2ⁿ⁺¹，
∴OC₂₀₁₂=2²⁰¹³，
∵2012÷6=335…2，
∴點C₂₀₁₂與點C₂x在同一射線上，在x軸負半軸，坐標為（-2²⁰¹³，0）．
故答案為：2，（-2²⁰¹³，0）．
點評：本題考查了坐標與圖形的變化-旋轉，解直角三角形，根據解直角三角形，以及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出m的值是解題的關鍵．