Question

在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B≠90°，點E、F分別是對角線AC、BD的中點．
（1）請畫出符合條件的圖形，連接EF，試判斷線段EF與線段AC之間有怎樣的關系，并證明你所得到的結論．
（2）當EF=

1

4

BD時，求∠ADC的大小．

Answer 1

（1）如圖，EF垂直平分AC．理由如下：
連接AE、CE，
∵∠A=∠C=90°，
點E、F分別是對角線AC、BD的中點，
∴AE=CE=

1

2

BD，
∴EF垂直平分AC．

（2）∵EF=

1

4

BD，AE=CE=

1

2

BD，
∴EF=

1

2

AE．
∵EF⊥AC，∠ECA=∠EAC=30°，
∴∠AEC=180°-∠ECA-∠EAC=120°，
∵AE=DE=

1

2

BD，
∴∠AEB=∠ADE+∠DAE，=2∠ADE，
∴∠ADE=

1

2

∠AEB，
同理∠CDE=

1

2

∠CEB，
如圖1，∠ADC=

1

2

∠AEB+

1

2

∠CEB=

1

2

∠AEC=60°；
如圖2，∠ADC=

1

2

∠AEB+

1

2

∠CEB=

1

2

(360°-∠AEC)=120°．
答：∠ADC的大小是60°或120°．