Question

如圖，已知拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（-1,0），O是坐標原點，且.點E為線段BC上的動點（點E不與點B，C重合），以E為頂點作，射線ET交線段OB于點F.

(1) 求出此拋物線函數表達式，并直接寫出直線BC的解析式；
(2)求證：；
(3)當為等腰三角形時，求此時點E的坐標；
(4)點P為拋物線的對稱軸與直線BC的交點，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以點A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）y=x²－x－3 （2）通過角的等量代換證明角相等（3）或者
（4）M為

試題分析：解：（1）OC=3OA=3
∴C為（0，－3）
∵拋物線過（－1，0）和（0，－3）


∴y=x²－x－3
BC：y=x－3
（2）∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF＋∠BEF=∠COE＋∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE．
（3）①∵∠OFE=∠BEF＋∠OBC＞45°
∴∠OFE＞∠OEF
∴OE＞OF即OE≠OF．
②當OE=EF時，
∠BEF=∠COE，∠OCE=∠EBF
∴△COE≌△BEF（AAS）
∴BE=CO=3．
過E作ED ⊥x軸于D．



③當OF=EF時，則∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
∴E為BC的中點，∴E為．
（4）對稱軸為x=1，
∴P為（1，－2）．
①AP為邊，
此時P點縱坐標為2或－2，
令x²－2x－3=2
即x²－2x－5=0


故
令x²－2x－3=－2
即x²－2x－1=0

或
故或
②AP為對角線，
設M為（x，0）
則N為（－x，－2）
∴x²＋2x－3=－2
x²＋2x－1=0


綜上所述：M為．
點評：該題較為復雜，主要考查學生對求二次函數解析式方法的掌握，以及在直角坐標系中分析函數與直線所都成幾何圖形點的坐標，需要考慮全面，分點論述。