Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的任意一點，AE⊥EF，且直線EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）如圖1，求證：AE＝EF；

（2）如圖2，當AB＝2，點E是邊BC的中點時，請直接寫出FC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）截取BE=BM，連接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根據ASA推出△AME和△ECF全等即可；

（2）取AB中點M，連接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根據ASA推出△AME和△ECF全等即可．

（1）證明：如圖1，在AB上截取BM＝BE，連接ME，

∵∠B＝90°，

∴∠BME＝∠BEM＝45°，

∴∠AME＝135°

∵CF是正方形的∠C外角的平分線，

∴∠ECF=90°+45°=135°

∴∠AME＝∠ECF，

∵AB＝BC，BM＝BE，

∴AM＝EC，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF,

在△AME和△ECF中

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF；

（2）解：取AB中點M，連接EM，

∵AB＝BC，E為BC中點，M為AB中點，

∴AM＝CE＝BE，

∴∠BME＝∠BME＝45°，

∴∠AME＝135°＝∠ECF，

∵∠B＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

在△AME和△ECF中

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴EM＝CF，

∵AB＝2，點E是邊BC的中點，

∴BM＝BE＝1，

∴CF＝ME＝．