Question

（2009•自貢）如圖，若等邊△ABC的邊長為6cm，內切圓⊙O分別切三邊于點D，E，F，則陰影部分的面積是（　　）

• A．πcm²
• B．

  3

  2

  πcm²
• C．

  1

  4

  πcm²
• D．

  3

  πcm²

Answer 1

分析：連接OA，OE，OF，OD，AD，則AD過O，求出BD、AD，求出三角形ABC的面積，根據S_△OBC=

1

3

S_△ABC，求出OD，求出∠BOC，根據扇形的面積公式求出即可．

解答：解：連接OA，OE，OF，OD，AD，則AD過O，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
由勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

62-32

=3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC×AD=

1

2

×6×3

3

=9

3

，
∵等邊三角形ABC的內切圓⊙O分別且AB、BC、AC于F、D、E，
∴OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵AB=BC=AC=6，OD=OE=OF，
∴S_△AOC=S_△OBC=S_△OAC，
∴S_△OBC=

1

3

S_△ABC=3

3

，
∴

1

2

BC×OD=3

3

，
即

1

2

×6×OD=3

3

，
∴OD=

3

，
∵⊙O是等邊△ABC的內切圓，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC=30°，
同理∠OCB=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴陰影部分的面積是：

120π× 3 ×  3

360

=π．
故選A．

點評：本題考查了扇形的面積，三角形的面積，勾股定理，三角形的內切圓，等邊三角形性質等知識點的應用，關鍵是求出OD的長和∠BOC的度數，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．