Question

如圖，半圓O為△ABC的外接半圓，AC為直徑，D為劣弧

BC

上的一動點，P在CB的延長線上，且有∠BAP=∠BDA．求證：AP是半圓O的切線．

Answer 1

分析：因為∠BDA和∠BCA為同弧所對的圓周角，所以相等，又AC為直徑，所以∠ABC=90°，即∠ACB+∠BAC=90°，又∠BAP=∠BDA，所以∠BAP+∠BAC=90°，即AP為切線．

解答：解：∠BDA和∠BCA為同弧所對的圓周角，
∴∠BDA=∠BCA．
又AC為直徑，
∴∠ABC=90°．
即∠ACB+∠BAC=90°．
又∠BAP=∠BDA，
∴∠BAP+∠BAC=90°．
即AP為切線．

點評：此題綜合考查了切線的判定以及相似三角形的判定方法的運用，解題的關鍵是利用90°的圓周角所對的弦是直徑判定圓內最長的弦．