Question

已知二次函數y=x²-2mx+m²-4的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），且與y軸交于點D．
（1）當點D在y軸正半軸時，是否存在實數m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（2）當m=-1時，將函數y=x²-2mx+m²-4的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象Ω．當直線y=

1

2

x+b與圖象Ω有兩個公共點時，求實數b的取值范圍．

Answer 1

令y=0得x²-2mx+m²-4=0，解得x₁=m-2，x₂=m+2，
∴A（m-2，0），B（m+2，0），D（0，m²-4），
（1）∵點D在y軸正半軸，
∴m²-4＞0，設存在實數m，使得△BOD為等腰三角形，則BO=OD，
即|m+2|=m²-4，
①當m+2＞0時，m²-4=m+2，解得m=3或m=-2（舍去）；
②當m+2＜0時，m²-4+m+2=0，解得m=1或m=-2（都舍去）；
③當m+2=0時，點O、B、D重合，不合題意，舍去；
綜上所述，m=3．

（2）當m=-1時，y=x²+2x-3，則A（-3，0），B（1，0）頂點為（-1，-4）
因為直線y=

1

2

x+b與圖象Ω有兩個公共點，
則當直線y=

1

2

x+b過A點時b=

3

2

，
當直線y=

1

2

x+b過B（1，0）時，b=-

1

2

，
當直線y=

1

2

x+b與y=-x²-2x+3只有一個公共點時，b=

73

16

，
根據圖象，可得-

1

2

＜b＜

3

2

或b＞

73

16

．