Question

【題目】如圖，已知點A(-2，4)和點B(1，0)都在拋物線上．

（1）求、；

（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為，點B的對應點為，若四邊形為菱形，求平移后拋物線的表達式；

（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線的交點為C，試在軸上找一個點D，使得以點、C、D為頂點的三角形與△ABC相似.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；.

（3）D點坐標為：D（3，0）或（，0）

【解析】（1）已知了拋物線圖象上A、B兩點的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得m、n的值；（2）根據(jù)A、B的坐標，易求得AB的長；根據(jù)平移的性質(zhì)知：四邊形AA′B′B一定為平行四邊形，若四邊形AA′B′B為菱形，那么必須滿足AB=BB′，由此可確定平移的距離，根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律即可求得平移后的拋物線解析式；（3）易求得直線AB′的解析式，聯(lián)立平移后的拋物線對稱軸，可得到C點的坐標，進而可求出AB、BC、AC、B′C的長，在（2）題中已經(jīng)證得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′對應，若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，可分兩種情況考慮：①∠B′CD=∠ABC，此時△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此時△B′DC∽△ABC，根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可求得不同的BD長，進而可求得D點的坐標．

解：（1）由于拋物線經(jīng)過點A（-2，4）和點B（1，0），

則有： ，解得.

（2）由（1）得：，

由A（-2，4）、B（1，0），根據(jù)勾股定理可得，

若四邊形AA′B′B為菱形，則AB=BB′=5，即B′（6，0）.

故拋物線需向右平移5個單位，即：.

（3）依照題意畫出圖形，如圖所示，

由（2）得：平移后拋物線的對稱軸為：x=4，

∵A（2，4），B′（6，0），∴直線AB′：.

當x=4時，y=1，故C（4，1）. ∴B′C=，AC=3，BC=.

由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C.

若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，

則：①∠B′CD=∠ABC，則△B′CD∽△ABC，可得：，即，∴B′D=3，此時D（3，0）；

②∠B′DC=∠ABC，則△B′DC∽△ABC，可得：即，∴，此時D（，0）.

綜上所述，存在符合條件的D點，且坐標為：D（3，0）或（，0）．

“點睛”本題考查了二次函數(shù)綜合題、平移問題、曲線上點的坐標與方程的關系、勾股定理、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)；本題主要考查了二次函數(shù)的應用問題，在解題時要根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行綜合分析是本題的關鍵．要注意分類思想的應用．