Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，點E是邊BC的中點，點G，H分別是邊CD，AB上的動點，連接GH交AE于F，且使GH⊥AE，連接AG，EH，則EH+AG的最小值是（ ）

A.8
B.4
C.2
D.8

Answer 1

【答案】C
【解析】如圖，由題意易證AE=GH=2 ，設FH=x，EF=y，則有HE+AG= + ，

欲求HE+AG的最小值，相當于在平面直角坐標系內找一點（x，y），使得這個點到O（0，0），P（2 ，2 ）的距離和最小，顯然這個點在線段OP上，滿足x=y時，HE+AG的值最小，由此可知FH=EF時，HE+AG的值最小，如圖連接BD交AE于F，作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，易證△FMH≌△FNE，

∴FH=EF，此時HE+AG的值最小，

易證四邊形BNFM是正方形，設邊長為a，則有 = ，

∴ = ，

∴a= ，

∴EF=FH= = ，

∴x=y= ，

∴HE+AG的最小值=2 ，

所以答案是：C．

解法二：作GK⊥AB于K，作EM∥AG，GM∥AE，則四邊形AEGM是平行四邊形．

∵AE⊥HG，

∴∠B=∠GKH=∠AFH=90°，

∴∠BAE+∠AHF=90°，∠AHF+∠KGH=90°，

∴∠BAE=∠KGH，

∵KG=BC=AB，

∴△KGH≌△BAE，

∴GH=AG，

∴AE=GM=HG，AG=EM，

∴△GHM是等腰直角三角形，GH=GM=AE=2 ，

∵AG+HE=EM+EG，

∴當H、E、M共線時，AG+HE的值最小，最小值= HG=2 ．

所以答案是：C．

【考點精析】通過靈活運用正方形的性質和軸對稱-最短路線問題，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑即可以解答此題．