Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發，沿線段AB，BC運動，且它們的是速度都為1厘米/秒．當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．

（1）當運動時間為t秒時，AP的長為　 　厘米，QC的長為　 　厘米；（用含t的式子表示）

（2）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（3）連接AQ、CP，相交于點M，如圖2，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數．

Answer 1

【答案】（1）t，4﹣t；（2）當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形；（3）∠CMQ=60°不變，理由見解析

【解析】試題分析：（1）根據點P、Q的運動速度表示出AP、BQ的長，再根據BC的長即可表示出CQ的長；

（2）需要分類討論：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況；

（3）∠CMQ=60°不變．通過證△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

試題解析：（1）依題意得：AP=t，QC=4﹣t．

故答案是：t；4﹣t；

（2）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t，

①當∠PQB=90°時，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；

②當∠BPQ=90°時，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；

∴當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形；

（3）∠CMQ=60°不變．理由如下：

∵在△ABQ與△CAP中 ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．