Question

（12分）如圖，在直角坐標系中，已知點A（0，2），點B（-2，0），過點B和線段OA的中點C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE．

（1）填空：點D的坐標為         ，點E的坐標為          ；
（2）若拋物線y=aa²+ba+c（a≠0）經過A，D，E三點，求該拋物線的解析式；
（3）若正方形和拋物線均以每秒個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正方形的頂點E落在y軸上時，正方形和拋物線均停止運動．
① 在運動過程中，設正方形落在y軸右側部分的面積為s，求s關于平移時間t（秒）的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍；
② 運動停止時，請直接寫出此時的拋物線的頂點坐標．

Answer 1

（1）D（﹣1，3）、E（﹣3，2）；
（2）；
（3）①S與x的函數關系式為：當0＜t≤時，S=5t²，當＜t≤1時，S=5t﹣，當1＜t≤時，S=﹣5t²+15t﹣；②運動停止時，拋物線的頂點坐標為（，）．

試題分析：（1）構造全等三角形，由全等三角形對應線段之間的相等關系，求出點D、點E的坐標；
（2）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）本問非常復雜，須小心思考與計算：
①為求s的表達式，需要識別正方形（與拋物線）的運動過程．正方形的平移，從開始到結束，總共歷時秒，期間可以劃分成三個階段：當0＜t≤時，對應圖（3）a；當＜t≤1時，對應圖（3）b；當1＜t≤時，對應圖（3）c．每個階段的表達式不同，請對照圖形認真思考；
②當運動停止時，點E到達y軸，點E（﹣3，2）運動到點E′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位．由此得到平移之后的拋物線解析式，進而求出其頂點坐標．
試題解析：（1）由題意可知：OB=2，OC=1．
如圖（1）所示，過D點作DH⊥y軸于H，過E點作EG⊥x軸于G．

易證△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；
同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）．
∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）；
（2）拋物線經過（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2），
則，解得 ，
∴；
（3）①當點D運動到y軸上時，t=．
當0＜t≤時，如圖（3）a所示．

設D′C′交y軸于點F
∵tan∠BCO==2，又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2，即=2
∵CC′=t，∴FC′=2t．
∴S_△CC′F=CC′•FC′=t×t=5t²
當點B運動到點C時，t=1．
當＜t≤1時，如圖（3）b所示．

設D′E′交y軸于點G，過G作GH⊥B′C′于H．
在Rt△BOC中，BC=
∴GH=，∴CH=GH=
∵CC′=t，∴HC′=t﹣，∴GD′=t﹣
∴S_{梯形CC′D′G}=（t﹣+t）=5t﹣
當點E運動到y軸上時，t=．
當1＜t≤時，如圖（3）c所示

設D′E′、E′B′分別交y軸于點M、N
∵CC′=t，B′C′=，
∴CB′=t﹣，∴B′N=2CB′=t﹣
∵B′E′=，∴E′N=B′E′﹣B′N=﹣t
∴E′M=E′N=（﹣t）
∴S_△MNE′=（﹣t）•（﹣t）=5t²﹣15t+
∴S_{五邊形B′C′D′MN}=S_{正方形B′C′D′E′}﹣S_△MNE′=﹣（5t²﹣15t+）=﹣5t²+15t﹣
綜上所述，S與x的函數關系式為：
當0＜t≤時，S=5t²，
當＜t≤1時，S=5t﹣，
當1＜t≤時，S=﹣5t²+15t﹣；
②當點E運動到點E′時，運動停止．如圖（3）d所示

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
∵OB=2，B′E′=BC=
∴
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+=
∴E′（0，）
由點E（﹣3，2）運動到點E′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位．
∵
∴原拋物線頂點坐標為（，）
∴運動停止時，拋物線的頂點坐標為（，）．