Question

【題目】如圖1（注：與圖2完全相同），二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）設該拋物線的頂點為D，求△ACD的面積；

（3）若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ所在的直線翻折，點A恰好落在拋物線上E點處，請直接判定此時四邊形APEQ的形狀，并求出E點坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）4；（3）四邊形APEQ為菱形，E點坐標為（﹣，﹣）．理由詳見解析.

【解析】試題分析：（1）將A，B點坐標代入函數y=x2+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式；（2）由解析式先求得點D、C坐標，再根據S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC，列式計算即可；（3）注意到P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、E對稱，則AP=EP，AQ=EQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對邊平行且相等的性質可用t表示E點坐標，又E在E函數上，所以代入即可求t，進而E可表示．

試題解析：（1）∵二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得： ，

∴y=x2﹣x﹣4；

（2）過點D作DM⊥y軸于點M，

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，

∴點D（1，﹣）、點C（0，﹣4），

則S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4；

（3）四邊形APEQ為菱形，E點坐標為（﹣，﹣）．理由如下

如圖2，E點關于PQ與A點對稱，過點Q作，QF⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ

∴AP=AQ=QE=EP，

∴四邊形AQEP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴

∴AF=t，FQ=t

∴Q（3﹣t，﹣t），

∵EQ=AP=t，

∴E（3﹣t﹣t，﹣t），

∵E在二次函數y=x2﹣x﹣4上，

∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，

∴t=，或t=0（與A重合，舍去），

∴E（﹣，﹣）．