Question

閱讀理解題：
定義：如果一個數的平方等于-1，記為i²=-1，這個數i叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，表示為a+bi（a，b為實數），a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．
例如計算：（2+i）+（3-4i）=5-3i．
（1）填空：i³=

 

，i⁴=

 

．
（2）計算：①（2+i）（2-i）；②（2+i）²；
（3）若兩個復數相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+y）+3i=（1-x）-yi，（x，y為實數），求x，y的值．
（4）試一試：請利用以前學習的有關知識將

1+i

1-i

化簡成a+bi的形式．

Answer 1

分析：（1）根據i²=-1，則i³=i²•i，i⁴=i²•i²，然后計算；
（2）根據平方差公式和完全平方公式計算，出現i²，化簡為-1計算；
（3）把原式化簡后，根據實部對應實部，虛部對應虛部列出方程，求得x，y的值；
（4）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化為不含i的數后計算．

解答：解：（1）∵i²=-1，
∴i³=i²•i=-1•i=-i，
i⁴=i²•i²=-1•（-1）=1，

（2）①（2+i）（2-i）=-i²+4=1+4=5；
②（2+i）²=i²+4i+4=-1+4i+4=3+4i；

（3）∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；

（4）

1+i

1-i

=

(1+i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

(1+i)2

2

=

2i

2

=i．

點評：本題考查了平方差公式，完全平方公式，是信息給予題，解題步驟為：（1）閱讀理解，發現信息；（2）提煉信息，發現規律；（3）運用規律，聯想遷移；（4）類比推理，解答問題．