Question

【題目】如圖所示，已知平面直角坐標系內A(2a-1，4)，B(-3，3b+1)，A、B兩點關于y軸對稱。

(1)求A、B的坐標

(2)動點P、Q分別從A點、B點同時出發，沿直線AB向右運動，同向而行，P點的速度是每秒2個單位長度，Q點的速度是每秒4個單位長度，設P、Q的運動時間為t秒，當0＜t＜3時.

①請用含t的代數式表示三角形OPQ的面積S，

②在平面直角坐標系中存在一點M，點M的橫縱坐標相等，且滿足，求出點M的坐標，并求出當＝15時，三角形OPQ的面積.

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（3，4），點B的坐標為（-3，4）．（2）①S＝12-4t；．②點M的坐標為（-2，-2）或（10，10），當S△AQM=15時，三角形OPQ的面積是11或1．

【解析】

（1）根據A、B兩點關于y軸對稱可知點A、B的橫坐標互為相反數，縱坐標相等，從而解答本題．

（2）①0＜t＜3時，點P在前，Q在后，表示出PQ的長度，即可解決問題；

②根據題意和①中求得的關系式，可以先求出點M的坐標，進而求得三角形OPQ的面積．

（1）∵A（2a-1，4），B（-3，3b+1），A、B兩點關于y軸對稱，

∴2a-1=3，3b+1=4．

解得a=2，b=1．

∴點A的坐標為（3，4），點B的坐標為（-3，4）．

（2）①∵AP=2t，BQ=4t，AB=6，

∴當0＜t＜3時，PQ=6+2t-4t=6-2t；

∴當0＜t＜3時，S=PQ×4=×（6-2t）×4=12-4t；

②設點M的坐標為（x，x）．

當0＜t＜3時，

∵S△PQM：S△OPQ=3：2，S△PQM＝=（3-t）×|4-x|，S△OPQ=12-4t．

∴．

解得，x=-2或x=10

∴點M的坐標為（-2，-2）或（10，10）

∵S△AQM=15，即S△AQM＝（0＜t＜3），

∴t=或t=，

∴當t=時，S△OPQ＝124×＝11，當t=時，S△OPQ=12-4×=1；

由上可得，點M的坐標為（-2，-2）或（10，10），當S△AQM=15時，三角形OPQ的面積是11或1．