Question

【題目】在等邊△ABC中；
（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度數；

（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點(不與點B，C重合)，點P在點Q的左側，且AP＝AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM.

①依題意將圖2補全；②小明通過觀察、實驗，提出猜想：在點P，Q運動的過程中，始終有PA＝PM，小明把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：要證PA＝PM，只需證△APM是等邊三角形．
想法2：在BA上取一點N，使得BN＝BP，要證PA＝PM，只需證△ANP≌△PCM.……
請你參考上面的想法，幫助小明證明PA＝PM(一種方法即可)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，

又∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，

∵∠BAP＝20°，∴∠AQB＝∠APQ=∠BAP＋∠B＝80°

（2）解：①如圖．

利用想法1證明：∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ，

∵點Q關于直線AC的對稱點為M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°，

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△APM是等邊三角形，

∴AP=PM．

②利用想法2證明：在AB上取一點N，使BN＝BP，連接PN，CM，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，BA＝BC＝AC，

∴△BPN是等邊三角形，AN＝PC，BP＝NP，∠BNP＝60°，

∴∠ANP＝120°，由軸對稱知CM＝CQ，∠ACM＝∠ACB＝60°，

∴∠PCM＝120°，由(1)知，∠APB＝∠AQC，∴△ABP≌△ACQ(AAS)．

∴BP＝CQ，∴NP＝CM，∴△ANP≌△PCM(SAS)，∴AP＝PM.

【解析】（1）根據等邊對等角得出：∠APQ＝∠AQP，根據等邊三角形的性質，及三角形的外角定理得出：∠AQB＝∠APQ=∠BAP＋∠B＝80° ；
（2）①如圖．根據等邊對等角及鄰補角的定義得出∠APB=∠AQC ，根據等邊三角形的性質得出∠B=∠C=60°，根據三角形的內角和得出∠BAP=∠CAQ，根據軸對稱的性質得出AQ=AM，∠QAC=∠MAC，根據等量代換得出∠MAC=∠BAP ，根據等式的性質得出∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60° ，即∠PAM=60°，又AQ=AM ，AP=AQ，故AP=AM，根據有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形得出△APM是等邊三角形，從而得出結論：AP=PM；②利用想法2證明：在AB上取一點N，使BN＝BP，連接PN，CM，根據等邊三角形的性質得出∠B＝∠ACB＝60°，BA＝BC＝AC，進一步得出△BPN是等邊三角形，AN＝PC，BP＝NP，∠BNP＝60°，根據領補角的定義得出∠ANP＝120°，由對稱的知識得出CM＝CQ，∠ACM＝∠ACB＝60°，從而判斷出∴△ABP≌△ACQ ，根據全等三角形的性質得出BP＝CQ ，進而根據等量代換得出NP＝CM，從而判斷出△ANP≌△PCM ，根據全等三角形的性質得出AP＝PM.