Question

如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上運動，AC與BE交于點F．
（1）如圖1，當點E運動到DC的中點時，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
（2）如圖2，當點E運動到CE：ED=2：1時，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
（3）當點E運動到CE：ED=3：1時，寫出△ABF與四邊形ADEF的面積之比；當點E運動到CE：ED=n：1（n是正整數）時，猜想△ABF與四邊形ADEF的面積之比（只寫結果，不要求寫出計算過程）；
（4）請你利用上述圖形，提出一個類似的問題

Answer 1

分析：連接DF，易得△FEC∽△FBA，根據相似三角形的性質，按前兩個小題不同的要求可得△CEF與△ADF的面積的比．
（1）中為

S△CEF

S△ABF

=

1

4

；
（2）中為

S△CEF

S△ABF

=

4

9

；進而可得△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
（3）分析可得規律有當CE：ED=n：1時，

S△ABF

S四邊形ADEF

=

(n+1)2

(n+1)2+n

(=

n2+2n+1

n2+3n+1

)可得答案；
（4）根據（3）的結論，提出類似的問題即可．

解答：解：（1）如圖1，連接DF．
因為點E為CD的中點，所以

EC

AB

=

EC

DC

=

1

2

．
據題意可證△FEC∽△FBA，所以

S△CEF

S△ABF

=

1

4

．（2分）
因為S_△DEF=S_△CEF，S_△ABF=S_△ADF，（2分）
所以

S△ABF

S四邊形ADEF

=

S△ABF

S△ADF+S△DEF

=

4

5

．（4分）

（2）如圖2，連接DF．
與（1）同理可知

S△CEF

S△ABF

=

4

9

，S△DEF=

1

2

S△CEF，
S_△ABF=S_△ADF，
所以

S△ABF

S四邊形ADEF

=

S△ABF

S△DEF+S△ADF

=

9

11

．（8分）

（3）當CE：ED=3：1時，

S△ABF

S四邊形ADEF

=

16

19

．（9分）
當CE：ED=n：1時，

S△ABF

S四邊形ADEF

=

(n+1)2

(n+1)2+n

=

n2+2n+1

n2+3n+1

．（12分）

（4）提問舉例：
①當點E運動到CE：ED=5：1時，△ABF與四邊形ADEF的面積之比是多少；
②當點E運動到CE：ED=2：3時，△ABF與四邊形ADEF的面積之比是多少；
③當點E運動到CE：ED=m：n（m，n是正整數）時，△ABF與四邊形ADEF的面積之比是多少．
評分說明：提出類似①的問題給1分，類似②的問題給3分，類似③的問題給4分；附加分最多4分，可計入總分，但總分不能超過12分．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．