Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點，

故可得：EF= AC，同理FG= BD，GH= AC，HE= BD，

在梯形ABCD中，AB=DC，

故AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四邊形EFGH是菱形．

在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，

則EH∥BD，

同理GH∥AC，

又∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

∴四邊形EFGH是正方形．

（2）解：連接EG．

在梯形ABCD中，

∵E、G分別是AB、DC的中點，

∴EG是梯形的中位線，

∴EG= （AD+BC）=3．

在Rt△EHG中，

∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，

∴EH2= ，即四邊形EFGH的面積為

【解析】（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進行正方形的判斷．（2）連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長，然后結合（1）的結論求出EH2= ，也即得出了正方形EHGF的面積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握三角形中位線定理(連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半)的相關知識才是答題的關鍵．