Question

【題目】某數學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖1，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合．三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．

（1）求證：DP=DQ；

（2）如圖2，小明在圖1的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發現PE和QE存在一定的數量關系，請猜測他的結論并予以證明；

（3）如圖3，固定三角板直角頂點在D點不動，轉動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點P，另一邊交BC的延長線于點Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E，連接PE，若AB：AP=3：4，請幫小明算出△DEP的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PE=QE，理由見解析；（3）

【解析】

（1）證明△ADP≌△CDQ，即可得到結論：DP=DQ．

（2）證明△DEP≌△DEQ，即可得到結論：PE=QE．

（3）與（1）（2）同理，可以分別證明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的長度，從而可求得，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP=S△DEQ=．

解：（1）證明：

∵∠ADC=∠PDQ=90°，

∴∠ADP=∠CDQ．

在△ADP與△CDQ中，

∵，

∴△ADP≌△CDQ（ASA）．

∴DP=DQ．

（2）猜測：PE=QE．

證明如下：

由（1）可知，DP=DQ．

在△DEP與△DEQ中，

∵，

∴△DEP≌△DEQ（SAS）．

∴PE=QE．

（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，

∴AP=8，BP=2．

與（1）同理，可以證明△ADP≌△CDQ，

∴CQ=AP=8．

與（2）同理，可以證明△DEP≌△DEQ

，∴PE=QE．

設QE=PE=x，則．

在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，即：，

解得：，即QE=．

∴．

∵△DEP≌△DEQ，

∴S△DEP=S△DEQ=．