Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且OA=1，tan∠ACB=2，將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉90°后得到矩形ODEF．點A的對應點為點D，點B的對應點為點E，點C的對應點為點F，拋物線y=ax2+bx+2的圖象過點A，C，F．

（1）求拋物線所對應函數的表達式；

（2）在邊DE上是否存在一點M，使得以O，D，M為頂點的三角形與△ODE相似，若存在，求出經過M點的反比例函數的表達式，若不存在，請說明理由；

（3）在x軸的上方是否存在點P，Q，使以O，F，P，Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍，且點P在拋物線上，若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不能存在，請說明理由；

（4）在拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）存在，y=0.5x-1；（3）存在，當點P為P1（0，1）時，點Q為Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；當點P為P2（1，2）時，點Q為Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；（4）存在，H（0.5，3）

【解析】解：（1）∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，

∵tan∠ACB=2，∴AB:BC=2∴OC:OA=2，則OC=2，

∵將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉90°后得到矩形ODEF，

∴OF=2，則有A（﹣1，0）C（0，2）F（2，0）

∵拋物線y=ax2+bx+2的圖象過點A，C，F，把點A、C、F坐標代入

得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函數表達式為y=﹣x2+x+2，

（2）存在，當∠DOM=∠DEO時，△DOM∽△DEO∴此時有DM:DO=DO:DE.

∴DM2=0.5,∴點M坐標為（0.5，1），

設經過點M的反比例函數表達式為y=kx-1，把點M代入解得k=0.5

∴經過M點的反比例函數的表達式為y=0.5x-1，

（3）存在符合條件的點P，Q．

∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q為頂點平行四邊形的面積為4，

∵OF=2，∴以O，F，P，Q為頂點平行四邊形的高為2，

∵點P在拋物線上，設點P坐標為（m，2），∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1，

∴點P坐標為P1（0，2），P2（1，2）

∵以O，F，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．

∴當點P坐標為P1（0，1）時，點Q的坐標分別為Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；

當點P坐標為P2（1，2）時，點Q的坐標分別為Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；

（4）若使得HA﹣HC的值最大，則此時點A、C、H應在同一直線上，

設直線AC的函數解析式為y=kx+b，把點A（﹣1，0），點C（0，2）代入得

-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直線AC的函數解析式為y=2x+2，

∵拋物線函數表達式為y=﹣x2+x+2，∴對稱軸為x=0.5

∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴點H的坐標為（0.5，3）