Question

【題目】如圖，如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B（4，0），與y軸交于點C（0，4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線在x軸下方的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N求線段MN的最大值；（3）在（2）的條件下，當MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點P使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-5x+4；（2）點p的坐標為(,)、(,),(-)、(，2+),或(，2-)．

【解析】試題分析：

（1）把點B、C的坐標代入列出方程組，解方程組求得的值即可得到二次函數的解析式；

（2）由點B、C的坐標可求出直線BC的解析式，設點M的橫坐標為m，由此可用含m的代數式表示出點M、N的縱坐標，從而可用含m的式子表達出MN的長度，由點M在軸下方可求得m的取值范圍為： ，由此即可求出線段MN的最大值；

（3）由題意結合（2）可得點N的坐標，由點P在拋物線對稱軸上，可設其坐標為(2.5，n)，結合點B和點N的坐標即可表達出PB、PN、BN的長度，再分PB=PN、PB=BN、PN=BN三種情況討論計算即可求得符合題意的點P的坐標.

試題解析：

（1）將點B（4，0）、C（0，4）代入拋物線y=x2+bx+c中，

得，得，

∴拋物線的解析式為y=x2-5x+4.

（2）由題意可設點M的坐標為（m，m2-5m+4），設直線BC的解析式為y=kx+4，

把點（4，0）代入y=kx+4，中，

得：0=4k+4，解得：k=-1，

∴直線BC的解析式為y=-x+4.

∵MN∥y軸，

∴點N的坐標為（m，-m+4），

∴MN==-m+4-(m2-5m+4)=-（m-2）2+4.

∵拋物線的解析式為：y=x2-5x+4=（x-2.5）2，

∴拋物線的對稱軸為x=2.5，

∴由點B的坐標為（4，0）可得點A的坐標為（1，0），

又∵點M在x軸下方，

∴1<m<4.

∴當m=2時，MN最大=4.

（3）由（2）可得：當m=2時，點N的坐標為（2，2），

∵點P在拋物線的對稱軸上，

∴可設點P坐標為（2.5，n）,

∴PB=，PN== ,

BN==2 ,

若為等腰三角形，則存在以下三種情況：

①當時，即

解得： ，此時點的坐標為(， )；

②當時，即 =2 ，解得： ，

此時點的坐標為(， )或(， )；

③當時，即 =2 ，解得： ，

此時點的坐標為(,2+)或(,2)．

綜上可知：在拋物線的對稱軸上存在點，使是等腰三角形，點P的坐標為(,)、(,),(-)、(，2+),或(，2-)．