Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x²+5x-24=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）求直線OD的函數(shù)表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P是直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、A、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）解方程x²+5x-24=0，
得x₁=-8，x₂=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-8，3）；

（2）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，A（0，3），B（-8，3），
∴D（-4，3）；
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，
則3=-4k，解得k=-

3

4

，
∴直線OD的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x；

（3）∵A（0，3），D（-4，3），
∴AD=4．
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-

3

4

x），當(dāng)以P、A、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如果PA=PD，那么點(diǎn)P在AD的垂直平分線上，
∴x=-2，-

3

4

x=

3

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，

3

2

）；
②如果AP=AD，那么x²+（-

3

4

x-3）²=16，
解得x₁=-4（與D點(diǎn)重合舍去），x₂=

28

25

，
當(dāng)x=

28

25

時(shí)，-

3

4

x=-

21

25

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

28

25

，-

21

25

）；
③如果DP=DA，那么（x+4）²+（-

3

4

x-3）²=16，
解得x₁=-

36

5

，x₂=-

4

5

，
當(dāng)x=-

36

5

時(shí)，-

3

4

x=

27

5

，
當(dāng)x=-

4

5

時(shí)，-

3

4

x=

3

5

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

36

5

，

27

5

），（-

4

5

，

3

5

）．
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，

3

2

）；（

28

25

，-

21

25

）；（-

36

5

，

27

5

），（-

4

5

，

3

5

）．