Question

如圖，已知△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB=

3

，BC=1，連接BF，分別交AC、DC、DE于點P、Q、R．
（1）求證：△BFG∽△FEG，并求出BF的長；
（2）觀察圖形，請你提出一個與點P相關的問題，并進行解答．（根據(jù)提出問題的層次和解答過程評分）

Answer 1

分析：（1）在△BFG中，BG=3BC=3，F(xiàn)G=AB=

3

，在△FEG中，F(xiàn)G=AB=

3

，EG=1，所以有

BG

FG

=

FG

EG

=

3

，且二者有一個公共角∠G，所以可得出兩三角形相似．
（2）如果問題較為淺顯，可以提問求證：∠PCB=∠REC，這個問題只需要運用兩直線平行，同位角相等進行解答．此題為發(fā)散性題型，不唯一．

解答：（1）證明：∵△ABC≌△DCE≌△FEG
∴BC=CE=EG=

1

3

BG=1，即BG=3
∴FG=AB=

3

∴

FG

EG

=

BG

FG

=

3

3

=

3

又∠BGF=∠FGE，
∴△BFG∽△FEG，
∵△FEG是等腰三角形，
∴△BFG是等腰三角形，
∴BF=BG=3；

（2）解：A層問題（較淺顯的，僅用到了1個知識點）．
例如：①求證：∠PCB=∠REB．（或問∠PCB與∠REB是否相等）等；
②求證：PC∥RE，（或問線段PC與RE是否平行）等．
B層問題（有一定思考的，用到了2～3個知識點）．
例如：①求證：∠BPC=∠BFG等，求證：BP=PR等；
②求證：△ABP∽△CQP等，求證：△BPC∽△BRE等；
③求證：△ABP∽△DQR等；④求BP：PF的值等．
C層問題（有深刻思考的，用到了4個或4以上知識點，或用到了（1）中結論）．
例如：①求證：△ABP≌△ERF；②求證：PQ=RQ等；③求證：△BPC是等腰三角形；
④求證：△PCQ≌△RDQ等；⑤求AP：PC的值等；⑥求BP的長；
⑦求證：PC=

3

3

（或求PC的長）等．
A層解答舉例：求證：PC∥RE
證明：△ABC≌△DCE
∴∠PCB=∠REB
∴PC∥RE
B層解答舉例：求證：BP=PR
證明：∠ACB=∠REB，
∴AC∥DE．
又BC=CE，∴BP=PR．
C層解答舉例：求AP：PC的值．
解：AC∥FG，
∴

PC

FG

=

BC

BG

=

1

3

∴PC=

3

3

，而AC=

3

，
∴AP=

3

-

3

3

=

2 3

3

，
∴AP：PC=2．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定，難易程度適中．