Question

（2012•莆田質檢）已知拋物線y=a（x-t-2）²+t²（a，t是常數，a≠0，t≠0）的頂點是P點，與x軸交于A（2，0）、B兩點．
（1）①求a的值；
②△PAB能否構成直角三角形？若能，求出t的值：若不能，說明理由．
（2）若t＞0，點F（0，-1），把拋物線y=a（x-t-2）²+t²向左平移t個單位后與x軸的正半軸交于M、N兩點，當t為何值時，過F、M、N三點的圓的面積最小？并求這個圓面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）①由拋物線與x軸交于A點，將A點的坐標代入拋物線解析式中，根據t不為0求出a的值即可；
②將求出的a的值代入拋物線解析式中，令解析式中y=0，求出對應的x的值，確定出點B的坐標，然后分兩種情況考慮：（i）當t＞0時，點B在點A的右側，由A和B的坐標求出OA與OB的長，假設此時三角形PAB為直角三角形，如圖1所示，過P作PQ垂直于AB，由對稱性及等腰三角形的性質得到PA等于AB的一半，再由拋物線的頂點坐標公式求出頂點P的坐標，確定出PQ的長，由OB-OA求出AB的長，列出關于t的方程，求出方程的解得到此時t的值；（ii）當t＜0時，點B在點A的左側，假設△PAB是直角三角形，如圖2所示：過P作PQ⊥AB于Q，同理得到PQ等于AB的一半，由P的縱坐標得出PQ的長，由OA-OB求出AB的長，列出關于t的方程，求出方程的解得到此時t的值，綜上，得到△PAB能否構成直角三角形時所有t的值；
（2）不妨設點M在點N的左側，根據平移規律表示出原拋物線向左平移t個單位后與x軸的交點M和N的坐標，以及MN垂直平分線的方程，當CF垂直于y軸時，根據垂線段最短得到CF的長度最小，可得出此時圓C的半徑為2，確定出圓C的最小面積，再由F的坐標求出OF與CH的長，由OH-OM求出HM的長，在直角三角形CHM中，利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解即可得到圓C面積最小時t的值．

解答：
解：（1）①把A（2，0）代入y=a（x-t-2）²+t²得：at²+t²=0，┅（2分）
∵t≠0，∴a=-1；┅（3分）
②△PAB能構成直角三角形，理由為：
將a=-1代入拋物線解析式得：y=-（x-t-2）²+t²，
當y=0時，-（x-t-2）²+t²=0，即（x-t-2）²=t²，
開方得：x-t-2=t或x-t-2=-t，
解得：x₁=2，x₂=2t+2，
∴B（2t+2，0），┅（4分）
分兩種情況：
（i）當t＞0時，點B在點A的右側，OA=2，OB=2t+2，
假設△PAB是直角三角形，如圖1所示：過P作PQ⊥AB于Q，
則PQ=

1

2

AB，┅（5分）
∵拋物線的頂點坐標為（t+2，t²），
∴PQ=t²，
∵AB=OB-OA=（2t+2）-2=2t，
∴t²=t，即t（t-1）=0，
解得：t₁=1，t₂=0（不合題意舍去）；┅（6分）
（ii）當t＜0時，點B在點A的左側，
假設△PAB是直角三角形，如圖2所示：過P作PQ⊥AB于Q，
同理：PQ=

1

2

AB，
∵AB=OA-OB=2-（2t+2）=-2t，PQ=t²，
∴t²=-t，┅（7分）
即t（t+1）=0，
解得：t₁=-1，t₂=0（不合題意舍去），┅（8分）
則當t=±1時，△PAB是直角三角形；

（2）不妨設點M在點N的左側，
原拋物線向左平移t個單位后與x軸的交點M（2-t，0）、N（t+2，0），
MN的垂直平分線為直線x=2，垂足為H，┅（9分）
如圖3所示，∵CF垂直于y軸時，CF的長度最小，
∴⊙C半徑的最小值為2，┅（10分）
此時CM=CF=2，⊙C的最小面積為4π，┅（11分）
∵F（0，-1），∴CH=OF=1，
在Rt△CMH中，MH=OH-OM=2-（2-t）=t，
根據勾股定理得：CH²+MH²=CM²，┅（12分）
∴1²+t²=2²，解得：t₁=

3

，t₂=-

3

（不合題意舍去），┅（13分）
則當t=

3

時，過F、M、N三點圓的面積最小，最小面積為4π．┅（14分）

點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：直角三角形斜邊上的中線性質，拋物線頂點坐標公式，二次函數與x軸的交點，勾股定理，垂線段最短，以及平移的性質，利用了分類討論的數學思想，是一道中考中的壓軸題，要求學生把所學知識融匯貫穿，靈活運用．