Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．

①求證：BD⊥CF；

②當AB=4，AD=時，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】解：（1）BD=CF成立。理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。

在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。

（2）①證明：設BG交AC于點M．

∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM=∠GCM。

又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。

∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。

②過點F作FN⊥AC于點N。

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，

∴。

∴AN=FN=AE=1。

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，。

∴在Rt△FCN中，。

在Rt△ABM中，。

∴AM=。

∴CM=AC﹣AM=4﹣，。

∵△BMA∽△CMG，∴，即，∴CG=。

∴在Rt△BGC中，。

【解析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得BD=CF。

（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據相似三角形的對應角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF。

②首先過點F作FN⊥AC于點N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數值相等，可求得AM=。然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長，再由勾股定理即可求得線段BG的長。