Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求AD的長．
（2）當(dāng)P、C兩點(diǎn)的距離為 時(shí)，求t的值．
（3）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng)．是否存在時(shí)刻t，使得S△PMD= S△ABC？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=AC=13，AD⊥BC，

∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，

∴AD2=AC2﹣CD2

∴AD=12cm

（2）

解：AP=t，

∴PD=12﹣t，

在Rt△PDC中，PC= ，CD=5，根據(jù)勾股定理得，PC2=CD2+PD2，

∴29=52+（12﹣t）2，

∴t=10或t=14（舍）．

即：t的值為10s

（3）

解：假設(shè)存在t，使得S△PMD= S△ABC．

∵BC=10，AD=12，

∴S△ABC= BC×AD=60，

① 若點(diǎn)M在線段CD上，

即 0≤t＜ 時(shí)，PD=12﹣t，DM=5﹣2t，

由S△PMD= S△ABC，

即 （12﹣t）（5﹣2t）= ，

2t2﹣29t+43=0

解得t1= （舍去），t2=

② 若點(diǎn)M在射線DB上，即 ＜t＜12．

由S△PMD= S△ABC

得 （12﹣t）（2t﹣5）= ，

2t2﹣29t+77=0

解得 t=11或t=

綜上，存在t的值為 s或 11s或 s，使得S△PMD= S△ABC

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和勾股定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理建立方程求解即可；（3）根據(jù)題意列出PD、MD的表達(dá)式解方程組，由于M在D點(diǎn)左右兩側(cè)情況不同，所以進(jìn)行分段討論即可，注意約束條件．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．