Question

【題目】(1)問題發現:如圖1, 和均為等邊三角形，點在同一直線上，連接

①求證:; ②求的度數.

(2)拓展探究:如圖2, 和均為等腰直角三角形，,點在同一直線上為中邊上的高，連接

①求的度數:

②判斷線段之間的數量關系(直接寫出結果即可).

解決問題:如圖3，和均為等腰三角形，,點在同一直線上，連接.求的度數(用含的代數式表示，直接寫出結果即可).

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②60°；（2）①90°；②BE=CE+2AF；（3）∠AEC=90°+.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根據SAS進一步證明△BAD≌△CAE,依據其性質可得，再根據對應角相等求出的度數；

（2）根據等腰直角三角形的性質得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根據SAS進一步證明△BAD≌△CAE，根據對應角相等求出的度數；因為DE=2AF,BD=EC,結合線段的和差關系得出結論；

（3）根據等腰三角形的性質得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n°，根據SAS進一步證明△BAD≌△CAE，根據對應角相等求出得出∠ADB=的度數,結合內角和用n表示∠ADE的度數，即可得出結論.

（1）①∵△ABC和△ADE均為等邊三角形(如圖1)，

∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

∴ ∠BAD=∠CAE.

∴ △BAD≌△CAE（SAS）

∴ BD=CE.

② 由△CAE≌△BAD，

∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.

∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.

（2）①∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形(如圖2)，

∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，

∵ ∠BAC=∠DAE=90°，

∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

∴ ∠BAD=∠CAE.

∴ △BAD≌△CAE（SAS）.

∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.

∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.

② BE=CE+2AF.

（3）如圖3：∠AEC=90°+，理由如下，

∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，

∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，

∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

∴ ∠BAD=∠CAE.

∴ △BAD≌△CAE（SAS）.

∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°- .

∴∠AEC=90°+.