Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC是對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC于F．
（1）求證：BE=EF．
（2）求tan∠EAF的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在正方形ABCD中，EF⊥AC，AB⊥BC，

∴∠AFE=∠ABE=90°；

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠FAE；　

又∵AE=AE，

∴Rt△BAE≌Rt△FAE，

故AB=AF，BE=FE

（2）解：∵正方形ABCD，

∴在Rt△CEF中，∠ECF=45°，

故FE=CF，

∴BE=CF，

∵正方形ABCD的邊長為1 cm，對角線AC= cm，

由（1）可得，BE=EF=CF=AC﹣AF=AC﹣AB= ﹣1（cm），

∴

【解析】（1）根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可得BE=EF；（2）根據勾股定理，計算正方形的對角線的長，減去AF的長求得CF的長，最后計算tan∠EAF的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角平分線的性質定理的相關知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．