Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，A點坐標為（－2，2）．

⑴如圖⑴，在△ABO為等腰直角三角形，求B點坐標．

⑵如圖⑴，在⑴的條件下，分別以AB和OB為邊作等邊△ABC和等邊△OBD，連結OC，求∠COB的度數．

⑶如圖⑵，過點A作AM⊥y軸于點M，點E為x軸正半軸上一點，K為ME延長線上一點，以MK為直角邊作等腰直角三角形MKJ，∠MKJ=90°，過點A作AN⊥x軸交MJ于點N，連結EN．則①的值不變；②的值不變，其中有且只有一個結論正確，請判斷出正確的結論，并加以證明和求出其值．

Answer 1

【答案】（1）B(4,0)；（2）30°；（3）=1；

【解析】

（1）作AE⊥OB于點E，由點A的坐標就可以求出OE的值，就可以求出OB的值而得出結論．

（2）由等腰直角三角形和等邊三角形的性質就可以得出∠CAO的值，再由等腰三角形的性質就可以求出∠AOC的值，從而得出結論；

（3）在AN上取一點P，使AP=OE，證明△APM≌△OEM，就可以得出MP=ME，∠AMP=∠OME，由等腰直角三角形的性質就可以得出∠PMN=∠EMN，得出△PMN≌△EMN就可以得出結論．

(1)如圖1，作AE⊥OB于點E，

∴∠AEO=90°.

∵A(2,2).

∴OE=AE=2.

∵AB=AO，

∴BO=2EO=4.

∴B(4,0)；

(2)∵△ABO為等腰直角三角形，

∴AB=AO，∠BAO=90°，∠AOB=45°.

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AC=AB，

∴∠CAO=150°，AC=AO，

∴∠ACO=∠AOC=15°，

∴∠COB=45°15°=30°；

(3) 的值不變

理由：如圖2，在AN上取一點P，使AP=OE，

∵AM⊥y軸，AN⊥x軸，

∴∠AQO=∠AMO=90°.

∵∠MOQ=90°，

∴四邊形AMOQ是矩形。

∵A(2,2)，

∴AQ=OQ=2，

∴四邊形AMOQ是正方形，

∴∠A=∠MOE=∠AMO=90°，

AM=OM.

在△APM和△OEM中，

，

∴△APM≌△OEM(SAS)，

∴MP=ME，∠AMP=∠OME.

∵∠AMP+∠PMO=90°，

∴∠OME+∠PMO=90°，

即∠PME=90°.

∵△MKJ等腰直角三角形，

∴∠JMK=45°，

∴∠PMN=45°，

∴∠PMN=∠EMN.

在△PMN和△EMN中，

，

∴△PMN≌△EMN(SAS)，

∴PN=EN.

∵PN=ANAP，

∴PN=AN0E，

∴ANOE=EN.

∴=1