Question

在平面直角坐標系中，點C為反比例函數（k＞0）在第一象限內圖象上一點，以點A（-2，-2）和C為頂點的矩形ABCD中，AB∥CD∥x軸，AB交y軸于點Q，CD交y軸于點M，BC∥DA∥y軸于點I，DA交x軸于點N，矩形ABCD被坐標軸分成的四個四邊形的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄（如圖1所示），已知S₁=3S₃，

（1）求k的值；
（2）S₂•S₄的值為________；
（3）P（0，n）為y軸上一點，以AP為邊作正方形APFG（A，P，F，G的位置依次為順時針方向排列），當點F或G恰好落在反比例函數y=的圖象上（示意圖如圖2所示）時，求所有滿足條件的n的值．

Answer 1

解：（1）設C（x_c，y_c）
∵AB∥CD∥x軸，BC∥DA∥y軸∠MOI=∠NOQ=90°
∴四邊形ANOQ和四邊形MOIC為矩形
∴S₃=ON×OQ=4
∴S₁=3S₃=12，∵K=x_c×y_c=OI×OC=S₁，
∴K=12

（2）∵點C在雙曲線上，
∴點C的坐標為（xc，）
∵四邊形ABCD是矩形
∴點B的坐標為（x_c，-2），
點D的坐標為（-2，）
∴S₂•S₄=ON•OM•OI•OQ=2×x_c×2×=48；

（3）（Ⅰ）當點F在雙曲線上
作FK⊥y軸 與K，AJ⊥y軸于點J，
∵∠FPK+∠APJ=∠APJ+∠PAJ=90°，
∴∠FPK=∠PAG
又∵∠FKP=∠PGA FP=PA
∴△FPK≌△PAJ
∴PK=AJ=2 FK=PJ=n+2
∴F（n+2，n-2）
將F（n+2，n-2）代入y=得：
（n+2）（n-2）=12
解得：n=±4
當n=-4時，經驗證正方形的頂點也在雙曲線上，
∴n=±4
（Ⅱ）點G在雙曲線上
同理可得：G（n，-4）
∴-4n=12
∴n=-3
∴n=±4，-3．
分析：（1）設C（x_c，y_c），根據四邊形ANOQ和四邊形MOIC為矩形得到S₃=ON×OQ=4，從而得到S₁=3S₃=12，最后利用K=x_c×y_c=OI×OC=S₁，求得K值；
（2）根據點C在雙曲線上，得到點C的坐標為（xc，），根據點C的坐標表示出點B和點D的坐標后即可求得兩個四邊形面積的積；
（3）分當點F在雙曲線上和點G在雙曲線上兩種情況求得n值即可．
點評：本題考查了反比例函數的綜合知識，解題的關鍵是了解在平面直角坐標系中如何用點的坐標表示出線段的長和如何根據線段的長表示出點的坐標．