Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（-4，0），B（0，-4），
C（2，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．
求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）先假設出函數解析式，利用三點法求解函數解析式．
（2）設出M點的坐標，利用S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB即可進行解答；
（3）分OB是平行四邊形的邊時，表示出PQ的長，再根據平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可；OB是對角線時，由圖可知點A與P應該重合．

解答：解：（1）設此拋物線的函數解析式為：
y=ax²+bx+c（a≠0），
將A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點代入函數解析式得：

16a-4b+c=0 c=-4 4a+2b+c=0

解得

a= 1 2 b=1 c=-4

，
所以此函數解析式為：y=

1

2

x2+x-4；

（2）∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，
∴M點的坐標為：（m，

1

2

m2 +m-4），
∴S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB
=

1

2

×4×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×4×（-m）-

1

2

×4×4
=-m²-2m+8-2m-8
=-m²-4m，
=-（m+2）²+4，
∵-4＜m＜0，
當m=-2時，S有最大值為：S=-4+8=4．
答：m=-2時S有最大值S=4．

（3）設P（x，

1

2

x²+x-4）．
當OB為邊時，根據平行四邊形的性質知PB∥OQ，
∴Q的橫坐標的絕對值等于P的橫坐標的絕對值，
又∵直線的解析式為y=-x，
則Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（

1

2

x²+x-4）|=4，
解得x=0，-4，-2±2

5

．
x=0不合題意，舍去．
如圖，當BO為對角線時，知A與P應該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標為4，代入y=-x得出Q為（4，-4）．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2

5

，2-2

5

）或（-2-2

5

，2+2

5

）或（4，-4）．

點評：本題考查了三點式求拋物線的方法，以及拋物線的性質和最值的求解方法．